作者：解学武

矩阵的转置实际上就是将数据元素的行标和列标互换，即 T(i,j) = M(j,i) 。例如： 相应地，三元组表转变为： 矩阵的转置，经历了三个步骤：

• 矩阵的行数 n 和列数 m 的值交换；
• 将三元组中的i和j调换；
• 转换之后的表同样按照行序（置换前的列序）为主序，进行排序；

实现三元组的转换，重点在第三步，实现算法有两种。

普通算法

普通算法的实现过程为：

1. 将矩阵的行数和列数进行调换；
2. 遍历表 a 的 j 列（查找 j 的值，从 1 一直到未转置之前的矩阵的列数 m ），遍历的过程，就可以自动存储为表 b 的形式。

实现代码：

TSMatrix transposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    //行和列置换
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;
   
    if (T.num) {
        int q=0;
        //依次遍历M矩阵的列（从1开始），的遍历的过程中将行标和列标置换，得到置换后的三元表T
        for (int col=1;col<=M.m; col++) {
            for (int p=0; p<M.num; p++) {
                if (M.data[p].j==col) {
                    T.data[q].i=M.data[p].j;
                    T.data[q].j=M.data[p].i;
                    T.data[q].data=M.data[p].data;
                    q++;
                }
            }
        }
    }
    return T;
}

此算法的时间复杂度关键在于嵌套的两个 for 循环，时间复杂度为O(m*num)，和矩阵的列数以及非 0 元素的个数的乘积成正比，如果稀疏矩阵的非 0 元素很多的情况，使用这个算法，虽然一定程度上节省了空间，但是时间复杂度会很高。

快速转置算法

快速转置算法在普通算法的基础上，对遍历存储的过程做了改进。

首先将每一列中非 0 元素的个数对应地存储在一个数组（数组名为array）中。在此基础上，计算出每一列第一个元素存放在三元组表中的位置，存储在数组（数组名为 cpot ）中。
用图 2 中置换之前的表举例：

array 数组中的数据表示，第一列有一个非 0 元素，第二列中 3 个非0元素。
 

cpot 数组中的数据表示，第一列中第一个数据存储的位置默认是 1 ，第二列第一个非 0 元素存放的位置是 2。

在以上两个数组的基础上，当遍历表 a 的 j 列时，根据每个元素 j 列的数值，就可以判断出它在表 b 中的存放位置，整个三元组表只需要遍历一次，就能实现矩阵的转置。

实现代码：

TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    //行和列置换
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;
    if (T.num) {
        //创建并初始化array数组
        int array[number];
       
        for (int col=1; col<=M.m; col++) {
            array[col]=0;
        }
        for (int t=0; t<M.num; t++) {
            int j=M.data[t].j;
            array[j]++;
        }
        //创建并初始化cpot数组
        int cpot[T.m+1];
        cpot[1]=1;//第一列中第一个非0元素的位置默认为1
        for (int col=2; col<=M.m; col++) {
            cpot[col]=cpot[col-1]+array[col-1];
        }
        for (int p=0; p<M.num; p++) {
            //提取当前三元组的列数
            int col=M.data[p].j;
            //根据列数和cpot数组，找到当前元素需要存放的位置
            int q=cpot[col];
            //转置矩阵的三元组默认从数组下标0开始，而得到的q值是单纯的位置，所以要减1
            T.data[q-1].i=M.data[p].j;
            T.data[q-1].j=M.data[p].i;
            T.data[q-1].data=M.data[p].data;
            //存放完成后，cpot数组对应的位置要+1，以便下次该列存储下一个三元组
            cpot[col]++;
        }
    }
    return T;
}

这个算法中含有四个并列的单循环，时间复杂度为O(m+num)(实际得到的是O(2*m+2*num)，当 m 和 num 足够大时，可以省略常数参数)，即使最坏情况下，矩阵中的元素都是非 0 元素，时间负责度为O（m*n）。称此算法为快速转置算法。

两种算法的完整代码

#include<stdio.h>
#define number 10
typedef struct {
    int i,j;
    int data;
}triple;
typedef struct {
    triple data[number];
    int rpos[number];
    int n,m,num;
}TSMatrix;

TSMatrix transposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;
   
    if (T.num) {
        int q=0;
        for (int col=1;col<=M.m; col++) {
            for (int p=0; p<M.num; p++) {
                if (M.data[p].j==col) {
                    T.data[q].i=M.data[p].j;
                    T.data[q].j=M.data[p].i;
                    T.data[q].data=M.data[p].data;
                    q++;
                }
            }
        }
    }
    return T;
}

TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;

    if (T.num) {
        int array[number];
        for (int col=1; col<=M.m; col++) {
            array[col]=0;
        }
        for (int t=0; t<M.num; t++) {
            int j=M.data[t].j;
            array[j]++;
        }
        int cpot[T.m+1];
        cpot[1]=1;
        for (int col=2; col<=M.m; col++) {
            cpot[col]=cpot[col-1]+array[col-1];
        }
        for (int p=0; p<M.num; p++) {
            int col=M.data[p].j;
            int q=cpot[col];
            T.data[q-1].i=M.data[p].j;
            T.data[q-1].j=M.data[p].i;
            T.data[q-1].data=M.data[p].data;
            cpot[col]++;
        }
    }
    return T;
}
int main() {
    TSMatrix M;
    M.m=2;
    M.n=3;
    M.num=4;
   
    M.data[0].i=1;
    M.data[0].j=2;
    M.data[0].data=1;
   
    M.data[1].i=2;
    M.data[1].j=2;
    M.data[1].data=3;
   
    M.data[2].i=3;
    M.data[2].j=1;
    M.data[2].data=6;
   
    M.data[3].i=3;
    M.data[3].j=2;
    M.data[3].data=5;
   
    TSMatrix T;
    T=transposeMatrix(M, T);
    printf("使用普通方法：\n");
    for (int i=0; i<T.num; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].data);
    }
    printf("\n");
    TSMatrix T1;
    T1=fastTransposeMatrix(M, T1);
    printf("使用改进方法：\n");
    for (int i=0; i<T.num; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].data);
    }
    return 0;
}

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