作者：解学武

如果一个数的平方的尾数等于它自身，这样的数字统称为自守数。

举几个自守数的例子：

5² = 25    25² = 625    76² = 5776    9376² = 87909376

编写程序，求 100000 以内的自守数。

分析

很多读者想到的思路是，求出一个数的平方后再截取最后相应位数的尾数，然后判断两个数是否相等，相等就是自守数，不相等则不是。

这种方法是不可取的，原因很简单，一个数平方的结果可能非常大，大到计算机都无法表示。

给大家讲解一种可行的思路。分析手工方式下整数平方（乘法）的计算过程，以 376 为例：


判断 376 是否为自守数，我们只关心 376 平方后的最后三位。分析产生后三位的过程，在每一次的部分积中，并不是它的每一位都会对积的后三位产生影响。总结规律可以得到：在三位数乘法中，对积的后三位产生影响的部分积分别为：

• 第一个部分积中：被乘数最后三位 × 乘数的倒数第一位。
• 第二个部分积中：被乘数最后二位 × 乘数的倒数第二位。
• 第三个部分积中：被乘数最后一位 × 乘数的倒数第三位。

将以上的部分积的后三位求和后，截取后三位就是三位数乘积的后三位，这样的规律可以推广到同样问题的不同位数乘积中。

分离给定数中的最后几位

从一个两位数（存在变量 n 中）开始分析，分离最低位个位 n%10；对于三位数 n，分离最后两位 n%100；对于四位数 n，分离最后三位 n%1000；...，由此可见，若分离出最后 x 位，只需要用原数对 10^x 求余。

上面所举的例子中，对于第二个部分积“2632”来说其实应是“26320”， 因为对于乘数中的倒数第二位“7”来说，因其在十位，对应的权值为 10，第二个部分积实质上为：376X70=26320。故求部分积的程序段为：

int main()
{
    //...
    while(k>0)
    {
        mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - nxuober%(b/10) ) )%a;
        /* (部分积+截取被乘数的后N位*截取乘数的第M位），%a再截取部分积*/
        k /= 10;  /*k为截取被乘数时的系数*/
        b *= 10;
    }
    //...
    return 0;
}

对于整个循环来说，变量 k 是由 number 的位数确定截取数字进行乘法时的系数。

第 1 次执行循环体时，被乘数的所有位数都影响到平方的尾数，因此第 1 个部分积=被乘数*乘数的最后一位，将部分积累加到变量 mul 上，再对 a 取余截取相应的尾数位数。

第2次执行循环体，影响平方尾数的是被乘数中除了最高位之外的数（所以 k 先除以 10 再参加运算），第 2 个部分积=被乘数*乘数的倒数第二位，( number%b - number%(b/l0) )用来求乘数中影响平方尾数的对应位上的数。

第 3 次、第 4 次执行循环体的过程同上。

程序流程图：

实现

#include<stdio.h>
int main()
{
    long mul, number, k, a, b;
    printf("100000以内的自守数有:\n");
    for (number = 0; number < 100000; number++)
    {
        for (mul = number, k = 1; (mul /= 10) > 0; k *= 10);
        /*由number的位数确定截取数字进行乘法时的系数k*/
        a = k * 10;  /*a为截取部分积时的系数*/
        mul = 0;  /*积的最后n位*/
        b = 10;  /*b为截取乘数相应位时的系数*/
        while (k > 0)
        {
            mul = (mul + (number % (k * 10)) * (number % b - number % (b / 10))) % a;
            /*(部分积+截取被乘数的后N位*截取乘数的第M位)，%a再截取部分积*/
            k /= 10;  /*k为截取被乘数时的系数*/
            b *= 10;
        }
        if (number == mul)  /*判定若为自守数则输出*/
            printf("%ld ", number);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

运行结果：

100000以内的自守数有:
0 1 5 6 25 76 376 625 9376 90625

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