作者：解学武

矩阵加法（基于十字链表）及C语言代码实现

矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。

在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：

图1 矩阵相加

十字链表法

之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。

采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。

十字链表法表示矩阵

例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：  
图2 矩阵用十字链表法表示
 
由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中
图 2 中：存储行链表的数组称为 rhead 数组；存储列链表的数组称为 chead 数组。

十字链表中的结点

从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：
图3 十字链表中的结点
指针域A存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址（称为 “down域”）；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；

用结构体自定义表示为： 
typedef struct OLNode
{
    int i,j,e;                      //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据
    struct OLNode *right,*down;     //指针域 右指针 下指针
}OLNode,*OLink;

十字链表的结构

使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。

所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：
typedef struct
{
    OLink *rhead,*chead;            //存放各行和列链表头指针的数组
    int mu,nu,tu;                   //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;

十字链表存储矩阵三元组

由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。

判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。

首先判断该数据元素 A（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：
  • 如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
  • 如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。

对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：
  • 如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
  • 反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。

实现代码： 
//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
    int m,n,t;
    int i,j,e;
    OLNode *p,*q;//定义辅助变量
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);  //输入矩阵的行列及非零元的数量
    //初始化矩阵的行列及非零元的数量
    M.mu=m;
    M.nu=n;
    M.tu=t;
    if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0);      //初始化矩阵的行列链表
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        M.rhead[i]=NULL;   //初始化行
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
        M.chead[j]=NULL;   //初始化列
    }
    for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束
    {
        if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0);                 //动态生成p
        }
        p->i=i;
        p->j=j;
        p->e=e;                             //初始化p
        if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
        {
            p->right=M.rhead[i];
            M.rhead[i]=p;
        }
        else
        {
            for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);
            p->right=q->right;
            q->right=p;
        }
       
        if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
        {
            p->down=M.chead[j];
            M.chead[j]=p;
        }
        else
        {
            for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);
            p->down=q->down;
            q->down=p;
        }
    }
    return M;
}

十字链表解决矩阵相加问题

在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况：

  1. 提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
  2. 提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
  3. 提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。

提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 B 中的非 0 元素，然后判断矩阵 A 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。

设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：

  1. 当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == NULL （说明矩阵 A 该行没有非 0 元素），两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 A 中。
  2. 当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
  3. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
  4. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。

实现代码： 
CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N){
    OLNode * pa,*pb;//新增的两个用于遍历两个矩阵的结点
    OLink * hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));//用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。
    OLNode * pre=NULL;//用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点
    //遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素
    for (int j=1; j<=M.nu; j++) {
        hl[j]=M.chead[j];
    }
    //按照行进行遍历
    for (int i=1; i<=M.mu; i++) {
        //遍历每一行以前，都要pa指向矩阵M当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵N
        pa=M.rhead[i];
        pb=N.rhead[i];
        //当pb为NULL时，说明矩阵N的当前行的非0元素已经遍历完。
        while (pb!=NULL) {
            //创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。（复制的目的就是排除指针域的干扰）
            OLNode * p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
            p->i=pb->i;
            p->j=pb->j;
            p->e=pb->e;
            p->down=NULL;
            p->right=NULL;
           
            //第一种情况
            if (pa==NULL||pa->j>pb->j) {
                //如果pre为NULL，说明矩阵M此行没有非0元素
                if (pre==NULL) {
                    M.rhead[p->i]=p;
                }else{//由于程序开始时pre肯定为NULL，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边
                    pre->right=p;
                }
                p->right=pa;
                pre=p;
                //在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置
                if (!M.chead[p->j]||M.chead[p->j]->i>p->i) {
                    p->down=M.chead[p->j];
                    M.chead[p->j]=p;
                }else{
                    p->down=hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down=p;
                }
                //更新hl中的数据
                hl[p->j]=p;
            }else{
                //第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue
                if (pa->j<pb->j) {
                    pre=pa;
                    pa=pa->right;
                    continue;
                }
                //第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题
                if (pa->j==pb->j) {
                pa->e+=pb->e;
                //如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间
                if (pa->e==0) {
                    if (pre==NULL) {
                        M.rhead[pa->i]=pa->right;
                    }else{
                        pre->right=pa->right;
                    }
                    p=pa;
                    pa=pa->right;
                    if (M.chead[p->j]==p) {
                        M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
                    }else{
                        hl[p->j]->down=p->down;
                    }
                    free(p);
                    }
                }
            }
            pb=pb->right;
        }
    }
    //用于输出矩阵三元组的功能函数
    display(M);
    return M;
}

完整代码演示

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct OLNode
{
    int i,j,e;                      //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据
    struct OLNode *right,*down;     //指针域 右指针 下指针
}OLNode,*OLink;

typedef struct
{
    OLink *rhead,*chead;            //行和列链表头指针
    int mu,nu,tu;                   //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M);
CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N);

void display(CrossList M);

void main()
{
    CrossList M,N;
    printf("输入测试矩阵M:\n");
    M=CreateMatrix_OL(M);
    printf("输入测试矩阵N:\n");
    N=CreateMatrix_OL(N);
    M=AddSMatrix(M,N);
    printf("矩阵相加的结果为:\n");
    display(M);
}

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
    int m,n,t;
    int i,j,e;
    OLNode *p,*q;
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);
    M.mu=m;
    M.nu=n;
    M.tu=t;
    if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0);
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        M.rhead[i]=NULL;
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
        M.chead[j]=NULL;
    }
    for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e))    {
        if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0);
        }
        p->i=i;
        p->j=j;
        p->e=e;
        if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
        {
            p->right=M.rhead[i];
            M.rhead[i]=p;
        }
        else
        {
            for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);
            p->right=q->right;
            q->right=p;
        }
       
        if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
        {
            p->down=M.chead[j];
            M.chead[j]=p;
        }
        else
        {
            for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);
            p->down=q->down;
            q->down=p;
        }
    }
    return M;
}

CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N){
    OLNode * pa,*pb;
    OLink * hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));
    OLNode * pre=NULL;
    for (int j=1; j<=M.nu; j++) {
        hl[j]=M.chead[j];
    }
    for (int i=1; i<=M.mu; i++) {
        pa=M.rhead[i];
        pb=N.rhead[i];
        while (pb!=NULL) {
            OLNode * p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
            p->i=pb->i;
            p->j=pb->j;
            p->e=pb->e;
            p->down=NULL;
            p->right=NULL;
            if (pa==NULL||pa->j>pb->j) {
                if (pre==NULL) {
                    M.rhead[p->i]=p;
                }else{
                    pre->right=p;
                }
                p->right=pa;
                pre=p;
                if (!M.chead[p->j]||M.chead[p->j]->i>p->i) {
                    p->down=M.chead[p->j];
                    M.chead[p->j]=p;
                }else{
                    p->down=hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down=p;
                }
                hl[p->j]=p;
            }else{
                if (pa->j<pb->j) {
                    pre=pa;
                    pa=pa->right;
                    continue;
                }
                if (pa->j==pb->j) {
                pa->e+=pb->e;
                if (pa->e==0) {
                    if (pre==NULL) {
                        M.rhead[pa->i]=pa->right;
                    }else{
                        pre->right=pa->right;
                    }
                    p=pa;
                    pa=pa->right;
                    if (M.chead[p->j]==p) {
                        M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
                    }else{
                        hl[p->j]->down=p->down;
                    }
                    free(p);
                    }
                }
            }
            pb=pb->right;
        }
    }
    display(M);
    return M;
}

void display(CrossList M){
    printf("输出测试矩阵:\n");
    printf("M:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");
    for (int i=1;i<=M.nu;i++)
    {
        if (NULL!=M.chead[i])
        {
           OLink p=M.chead[i];
            while (NULL!=p)
            {
                printf("%d\t%d\t%d\n",p->i,p->j,p->e);
                p=p->down;
            }
        }
    }

}
运行结果：
输入测试矩阵M:
3 3 3
1 2 1
2 1 1
3 3 1
0 0 0
输入测试矩阵N:
3 3 4
1 2 -1
1 3 1
2 3 1
3 1 1
0 0 0
矩阵相加的结果为:
输出测试矩阵:
M:
---------------------
i j e
---------------------
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2 3 1
3 3 1

总结

使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非0元素的个数。

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