作者：解学武

阅读《二叉排序树（二叉查找树）》一节后，本节再带大家学习一种实现动态查找表的树形存储结构，叫做平衡二叉树。

对于一个动态查找表而言，表中元素的位置不同，最终构建出的二叉排序树也不一样。换句话说，一个动态查找表可能对应着多棵二叉排序树。例如：


图 1 中，左侧二叉排序树表示的是 {45，24，53，12，37，93}，右侧二叉排序树表示的是 {12，24，37，45，53，93}。由于查找表中存储的是无关系的数据，所以它们其实是同一个查找表。

二叉排序树的查找性能和整棵树的姿态有关。仍以图 1 为例，假设表中元素被查找的概率是相等的（都为1/6），左侧二叉排序树的查找性能用平均查找长度（ASL）表示：

ASL = 1/6 * (1+2+2+3+3+3) = 14/6

右侧二叉排序树的查找性能为：

ASL = 1/6 * (1+2+3+4+5+6) = 21/6

ASL 值越小，查找的性能就越高。显然，图 1 左侧二叉排序树的查找性能更高。

当使用二叉排序树实现动态查找表时，如果希望构建出的总是一棵查找性能最高（ASL 值最小）的树，而不受表中元素位置的影响，可以优先考虑构建一棵平衡二叉树。

平衡二叉树是什么

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称 AVL 树，是一种实现动态查找表的树形存储结构。

首先，平衡二叉树是一棵二叉排序树，它具备二叉排序树所有的特征：

• 对于树中的每个结点，如果它有左子树，那么左子树上所有结点的值都比该结点小；
• 对于树中的每个结点，如果它有右子树，那么右子树上所有结点的值都比该结点大。

平衡二叉树的特别之处在于，树中每个结点左、右子树的深度差（绝对值）都不超过 1。

所谓【树的深度】，可以简单理解成【树的高度】。举个简单的例子：


图 1 整棵树的高度是 3，以结点 25 为根结点的子树高度是 2，以结点 12 为根结点的子树高度是 1，以此类推。

在数据结构中，一个结点左子树和右子树的深度差，叫做这个结点的平衡因子（Balance Factor，简称 BF）。例如，图 1 中各个结点的平衡因子分别是：


比如结点 53 左子树的高度为 0，右子树高度为 1，所以平衡因子为 -1（0 - 1 = -1）。再比如，结点 45 左子树的高度为 2，右子树的高度也为 2，所以平衡因子值为 0（2 - 2 = 0）。 

搞清楚什么是平衡因子后，如果一棵二叉树是二叉排序树，并且树中所有结点的平衡因子为 0、1 或者 -1（绝对值 ≤ 1），那么这棵树就是一棵平衡二叉树。

仔细观察图 2 中的二叉树，首先它是一棵二叉排序树，同时所有结点因子的绝对值都不超过 1，所以它还是一棵平衡二叉树。

接下来，给读者列举两个非平衡二叉树的示例：
1) 下图是一棵二叉树，但结点 37 的右孩子 25 比 37 小，所以它不是二叉排序树，更不是平衡二叉树：


2) 下图的两棵二叉树都是二叉排序树，但树中存在左、右子树深度差超过 1 的结点，所以它们不是平衡二叉树：

平衡二叉树的构建

构建平衡二叉树的过程，与构建一棵二叉排序树类似，不同之处在于，每次往树中插入一个新结点，都要判断一下整棵树的平衡是否被破坏：

• 如果整棵树的平衡没有被破坏，就继续插入新结点；
• 如果新结点破坏了整棵树的平衡，则调整树中某些结点的位置，使其重新成为一棵平衡二叉树。

例如，对动态查找表 {12，24，37，90，53} 构建一棵平衡二叉树，需要经历以下几个步骤：
1) 初始状态下，整棵树是一棵空树。将元素 12 和 24 插入到树中，整棵树是一棵平衡二叉树：


2) 继续插入元素 37，新的二叉排序树如图 5a) 所示，树的平衡性被破坏了，需要调整树的姿态：将结点 24 作为新的根结点，12 作为 24 的左孩子，37 仍作为 24 的右孩子。


当二叉排序树的平衡性被打破时，就如同“一边重，另一边轻”的扁担（如图 5a)），只需要调整扁担的支撑点（调整根结点），就能重新恢复平衡。实际上，将图 5a) 以结点 24 为支撑点向左逆时针旋转，就能得到图 5b)。

3）在图 5b) 的基础上，继续插入元素 90，它将作为结点 37 的右孩子，整棵树依然是一棵平衡二叉树，如图 6 所示。


4）在图 6 的基础上，继续插入元素 53，它将作为结点 90 的左孩子，此时树的平衡性再次被打破（如图 7a) 所示），需要对树的姿态做出调整，需要做两步操作：

• 在图 7a) 中找到结点 90 为根结点的子树，将它向右顺时针旋转，改为以结点 53 作为根结点，如图 7b) 所示；
• 在图 7b) 中找到结点 37 为根结点的子树，将它向左逆时针旋转，改为以结点 53 作为根结点，如图 7c) 所示。

由此，我们就得到了图 7c) 这棵平衡二叉树。

调整树的姿态

如果新结点的加入破坏了整棵二叉排序树的平衡性，就需要及时调整树的姿态，也就是“旋转”不平衡的子树使整棵树重新平衡。

调整树姿态的具体实现方案是：找到距离新插入结点最近且平衡因子不是 -1、0 和 1 的结点 A，根据新结点的插入位置，旋转 A 这棵子树。新插入结点的位置分为 4 种情况，分别是：

1) 单向右旋

如图 8 所示，在以 A 的左孩子为根结点的子树 B 中，若插入结点位于 B 的左子树上，导致 A 的平衡因子从 1 变成 2，可以将 A 子树向右顺时针旋转，整棵树就能重新平衡。

图中，圆圈表示一个结点，方框表示一棵子树。子树 BL、BR、AR 高度相同。

仔细观察图 8，将 A 子树右旋，实际上做了以下 3 步操作：

• BR 子树作为 A 的左子树；
• A 的左孩子作为新的根结点；
• A 结点作为新根结点的右孩子；

2) 单向左旋

如图 9 所示，在以 A 的右孩子为根结点的子树 B 中，若插入结点位于 B 的右子树上，导致 A 的平衡因子从 -1 变成 -2，可以将 A 子树向左逆时针旋转，整棵树就能重新平衡。

图中，AL、BL 和 BR 高度相同。

将 A 子树左旋，实际上做了以下 3 步操作：

• BL 子树作为 A 的右子树；
• A 的右孩子作为新的根结点；
• A 结点作为新根结点的左孩子；

3)  双向旋转（先左后右）

如图 10 所示，在以 A 的左孩子为根结点的子树 B 中，若插入结点位于 B 的右子树上，导致 A 的平衡因子从 1 变成 2，则需要进行两次旋转操作，整棵树才能重新平衡。

图中，BL 和 AR 高度相同，CL 和 CR 高度相同，BL（AR）比 CL（CR）高度相差 1。

所谓两次旋转操作，其实就是先对 A 的左子树做左旋操作，然后再对 A 树做右旋操作。整个旋转过程中，只有 A、B 和 C 三个结点的平衡因子会发生变化。

图 10 展示的是插入结点位于 C 左子树上的情况，插入结点还可能位于 C 的右子树上。这种情况下，插入结点最终位于 A 的左子树（CR）中，相应地结点 A 的平衡因子为 0，结点 B 的平衡因子为 1，结点 C 的平衡因子为 0。

4)  双向旋转（先右后左）

如图 11 所示，在以 A 的右孩子为根结点的子树 B 中，若插入结点位于 B 的左子树上，导致 A 的平衡因子从 -1 变成 -2，则也需要进行两次旋转操作，整棵树才能重新平衡。


图中，BR 和 AL 高度相同，CL 和 CR 高度相同，BR（AL）比 CL（CR）高度相差 1。

所谓两次旋转操作，其实就是先对 A 的右子树做右旋操作，然后再对 A 树做左旋操作。整个旋转过程中，只有 A、B 和 C 三个结点的平衡因子会发生变化。

图 11 展示的是插入结点位于 C 左子树上的情况，插入结点还可能位于 C 的右子树上。这种情况下，插入结点最终位于 B 的左子树（CR）中，相应地结点 A 的平衡因子为 1，结点 B 的平衡因子为 0，结点 C 的平衡因子为 0。

平衡二叉树的具体实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//分别定义平衡因子数
#define LH +1
#define EH  0
#define RH -1
typedef int ElemType;
typedef enum { false, true } bool;

//定义二叉排序树
typedef struct BSTNode {
    ElemType data;
    int bf;//balance flag
    struct BSTNode* lchild, * rchild;
}*BSTree, BSTNode;

//对以 p 为根结点的二叉树做右旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void R_Rotate(BSTree* p)
{
    //借助文章中的图 8 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree lc = (*p)->lchild;
    (*p)->lchild = lc->rchild;
    lc->rchild = *p;
    *p = lc;
}

//对以 p 为根结点的二叉树做左旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void L_Rotate(BSTree* p)
{
    //借助文章中的图 9 加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree rc = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = rc->lchild;
    rc->lchild = *p;
    *p = rc;
}

//对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理，令指针 T 指向新的根结点
void LeftBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc, rd;
    lc = (*T)->lchild;
    //查看以 T 的左子树为根结点的子树，失去平衡的原因，如果 bf 值为 1 ，则说明添加在左子树为根结点的左子树中，需要对其进行右旋处理；反之，如果 bf 值为 -1，说明添加在以左子树为根结点的右子树中，需要进行双向先左旋后右旋的处理
    switch (lc->bf)
    {
    case LH:
        (*T)->bf = lc->bf = EH;
        R_Rotate(T);
        break;
    case RH:
        rd = lc->rchild;
        switch (rd->bf)
        {
        case LH:
            (*T)->bf = RH;
            lc->bf = EH;
            break;
        case EH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            break;
        case RH:
            (*T)->bf = EH;
            lc->bf = LH;
            break;
        }
        rd->bf = EH;
        L_Rotate(&(*T)->lchild);
        R_Rotate(T);
        break;
    }
}

//右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似
void RightBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc, rd;
    lc = (*T)->rchild;
    switch (lc->bf)
    {
    case RH:
        (*T)->bf = lc->bf = EH;
        L_Rotate(T);
        break;
    case LH:
        rd = lc->lchild;
        switch (rd->bf)
        {
        case LH:
            (*T)->bf = EH;
            lc->bf = RH;
            break;
        case EH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            break;
        case RH:
            (*T)->bf = EH;
            lc->bf = LH;
            break;
        }
        rd->bf = EH;
        R_Rotate(&(*T)->rchild);
        L_Rotate(T);
        break;
    }
}

int InsertAVL(BSTree* T, ElemType e, bool* taller)
{
    //如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
    if ((*T) == NULL)
    {
        (*T) = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        (*T)->bf = EH;
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        *taller = true;
    }
    //如果二叉排序树中已经存在 e ，则不做任何处理
    else if (e == (*T)->data)
    {
        *taller = false;
        return 0;
    }
    //如果 e 小于结点 T 的数据域，则插入到 T 的左子树中
    else if (e < (*T)->data)
    {
        //如果插入过程，不会影响树本身的平衡，则直接结束
        if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller))
            return 0;
        //判断插入过程是否会导致整棵树的深度 +1
        if (*taller)
        {
            //判断根结点 T 的平衡因子是多少，由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡，所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时，需要进行左子树的平衡处理，否则更新树中各结点的平衡因子数
            switch ((*T)->bf)
            {
            case LH:
                LeftBalance(T);
                *taller = false;
                break;
            case  EH:
                (*T)->bf = LH;
                *taller = true;
                break;
            case RH:
                (*T)->bf = EH;
                *taller = false;
                break;
            }
        }
    }
    //同样，当 e>T->data 时，需要插入到以 T 为根结点的树的右子树中，同样需要做和以上同样的操作
    else
    {
        if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller))
            return 0;
        if (*taller)
        {
            switch ((*T)->bf)
            {
            case LH:
                (*T)->bf = EH;
                *taller = false;
                break;
            case EH:
                (*T)->bf = RH;
                *taller = true;
                break;
            case  RH:
                RightBalance(T);
                *taller = false;
                break;
            }
        }
    }
    return 1;
}

//判断现有平衡二叉树中是否已经具有数据域为 e 的结点
bool FindNode(BSTree root, ElemType e, BSTree* pos)
{
    BSTree pt = root;
    (*pos) = NULL;
    while (pt)
    {
        if (pt->data == e)
        {
            //找到节点，pos指向该节点并返回true
            (*pos) = pt;
            return true;
        }
        else if (pt->data > e)
        {
            pt = pt->lchild;
        }
        else
            pt = pt->rchild;
    }
    return false;
}

//中序遍历平衡二叉树
void InorderTra(BSTree root)
{
    if (root->lchild)
        InorderTra(root->lchild);

    printf("%d ", root->data);

    if (root->rchild)
        InorderTra(root->rchild);
}

//后序遍历二叉树，释放树占用的内存
void DestroyAVL(BSTree T) {
    if (T) {
        DestroyAVL(T->lchild);//销毁左孩子
        DestroyAVL(T->rchild);//销毁右孩子
        free(T);//释放结点占用的内存
    }
}

int main()
{
    int i, nArr[] = { 1,23,45,34,98,9,4,35,23 };
    BSTree root = NULL, pos;
    bool taller;
    //用 nArr查找表构建平衡二叉树（不断插入数据的过程）
    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
        InsertAVL(&root, nArr[i], &taller);
    }
    //中序遍历输出
    InorderTra(root);
    //判断平衡二叉树中是否含有数据域为 103 的数据
    if (FindNode(root, 103, &pos))
        printf("\n%d\n", pos->data);
    else
        printf("\nNot find this Node\n");
    //销毁平衡二叉树
    DestroyAVL(root);
    return 0;
}

运行结果为：

1 4 9 23 34 35 45 98
Not find this Node

总结

使用平衡二叉树进行查找操作的时间复杂度为O(logn)。在学习本节内容时，紧贴本节图示比较容易理解。

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