作者：解学武

二叉排序树（二叉查找树）详解

静态树表查找算法 平衡二叉树（AVL树）是什么
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二叉排序树（Binary Sort Tree，简称 BST ）又叫二叉查找树和二叉搜索树，是一种实现动态查找表的树形存储结构。

前面章节介绍了几种表示静态查找表的存储结构，包括线性表、索引顺序表和静态树表。和静态查找表相比，动态查找表不仅可以查找目标元素，还可以执行插入和删除元素的操作。

二叉排序树本质是一棵二叉树，它的特别之处在于：
  • 对于树中的每个结点，如果它有左子树，那么左子树上所有结点的值都比该结点小；
  • 对于树中的每个结点，如果它有右子树，那么右子树上所有结点的值都比该结点大。

举个简单的例子，下图就是一棵二叉排序树：


图 1 二叉排序树

以根节点为例，左子树上所有结点的值都比 41 小，右子树上所有结点的值都比 41 大。不仅是根结点，整棵二叉树上的非叶子结点都是如此，这样的二叉树就是一棵二叉排序树。

二叉排序树的具体应用

二叉排序树的常见操作有 3 种，分别是：
  • SearchBST(Key)：查找指定的元素 Key；
  • InsertBST(Key)：若二叉排序树中不存在元素 Key，将 Key 作为新结点插入到树上的适当位置；
  • DeleteBST(Key)：若二叉排序树中存在元素 Key，将存储 Key 的结点从树中摘除。

接下来一一讲解这 3 种操作的实现思路，并给出可参考的实现代码。

1、二叉排序树查找元素

在二叉排序树中查找目标元素，就是从树根结点出发，先将树根结点和目标元素做比较：
  • 若当前结点不存在，则查找失败；若当前结点的值和目标元素相等，则查找成功；
  • 若当前结点的值比目标元素大，目标元素只可能位于当前结点的左子树中，继续进入左子树查找；
  • 若当前结点的值比目标元素小，目标元素只可能位于当前结点的右子树中，继续进入右子树查找；

以图 1 中的二叉排序树为例，查找元素 32 的过程是：
  • 从树根结点出发，41 比目标元素 32 大，则 32 只可能位于 41 的左子树中，继续进入左子树查找；
  • 当前子树的根结点 20 比目标元素 32 小，则 32 只可能位于 20 的右子树中，继续进入右子树查找；
  • 当前子树的根结点 29 比目标元素 32 小，则 32 只可能位于 29 的右子树中，继续进入右子树查找；
  • 当前子树只有一个根结点 32，和目标元素相等，正是要找的目标元素。

整个查找过程如下图所示：


图 2 查找目标元素 32 的过程

编码实现在二叉排序树中查找目标元素，可以参考如下的 C 语言程序： 
BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key) {
    //如果 T 为空，则查找失败，返回NULL；或者查找成功，返回指向存有目标元素结点的指针
    if (!T || key == T->data) {
        return T;
    }
    else if (key < T->data) {
        //继续去左子树中查找目标元素
        return SearchBST(T->lchild, key);
    }
    else {
        //继续去右子树中查找目标元素
        return SearchBST(T->rchild, key);
    }
}

2、二叉排序树插入元素

二叉排序树中各个结点的值都不相等，因此新插入的元素一定是原二叉排序树没有的，否则插入操作会失败。此外插入新元素后，必须保证整棵树还是一棵二叉排序树。

二叉排序树插入新元素的方法是：在树中查找新元素，最终查找失败时找到的位置，就是放置新元素的位置。

例如在图 1 的二叉排序树中插入新元素 30，在树中查找 30，最终查找失败时找到的位置是结点 32 的左孩子，直接将 30 作为 32 的左孩子即可。下图的动画演示了插入的整个过程：


图 3 二叉排序树插入新结点

编码实现向二叉排序树中插入新元素，可以参考下面的 C 语言程序： 
//向二叉排序树 T 中插入目标元素 e
Status InsertBST(BiTree* T, ElemType e) {
    //如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
    if ((*T) == NULL)
    {
        (*T) = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        return true;
    }
    //如果找到目标元素，插入失败
    else if (e == (*T)->data)
    {
        return false;
    }
    //如果 e 小于当前结点的值，表明应该将 e 插入到该结点的左子树中
    else if (e < (*T)->data) {
        InsertBST(&(*T)->lchild, e);
    }
    //如果 e 大于当前结点的值，表明应该将 e 插入到该结点的右子树中
    else
    {
        InsertBST(&(*T)->rchild, e);
    }
}
InsertBST() 函数本意是将指定元素插入到二叉排序树中，当二叉排序树不存在（为 NULL）时，此函数还能完成二叉排序树的构建工作。

作为实现动态查找表的树形结构，二叉排序树通常不会一次性创建好，而是一边查找一边创建，InsertBST() 就是实现此过程的函数。

3、二叉排序树删除元素

删除二叉排序树中已有的元素，必须确保整棵树还是一棵二叉排序树。

假设被删除的元素是 P，删除的同时需要妥善处理它的左、右子树。根据结点 P 是否有左、右孩子，可以归结为以下 3 种情况：
  1. P 是叶子结点：可以直接摘除，整棵树还是二叉排序树。

    例如，删除图 1 中的结点 32，它就是一个叶子结点，直接删除它并不会破坏二叉排序树的结构。
  2. P 只有一个孩子（左孩子或右孩子）：若 P 是双亲结点（用 F 表示）的左孩子，直接将 P 的孩子结点作为 F 的左孩子；反之若 P 是 F 的右孩子，直接将 P 的孩子结点作为 F 的右孩子。

    例如，删除图 1 中的结点 29，它只有一个孩子结点 32。由于 29 是双亲结点 20 的右孩子，因此直接将 32 作为 20 的右孩子，这样做既删除了结点 29，整棵树还是二叉排序树。
  3. P 有两个孩子：中序遍历整棵二叉排序树，在中序序列里找到 P 的直接前驱结点 S，将 P 结点修改成 S 结点，然后再将之前的 S 结点从树中摘除。
    在二叉排序树中，对于拥有两个孩子的结点，它的直接前驱结点要么是叶子结点，要么是没有右孩子的结点，所以删除直接前驱结点可以套用前面两种情况的实现思路。
    例如，删除图 1 中的结点 20，它在中序序列里的直接前驱结点是 11，将 P 结点的值修改为 11，然后再根据情况 1 的实现思路，将之前的结点 11 直接从树中摘除。

编码实现在二叉排序树中删除某个元素，可以参考如下的 C 语言程序： 
//实现删除 p 结点的函数
Status Delete(BiTree* p)
{
    BiTree q = NULL, s = NULL;
    //情况 1，结点 p 本身为叶子结点，右孩子也为 NULL，用 NULL 直接替换 p 结点即可
    //情况 2,结点 p 只有一个孩子
    if (!(*p)->lchild) { //左子树为空，只需用结点 p 的右子树根结点代替结点 p 即可；
        q = *p;
        *p = (*p)->rchild;
        free(q);
    }
    else if (!(*p)->rchild) {//右子树为空，只需用结点 p 的左子树根结点代替结点 p 即可；
        q = *p;
        *p = (*p)->lchild;
        free(q);
    }
    //情况 3，结点 p 有两个孩子
    else {
        q = *p;
        s = (*p)->lchild;
        //遍历，找到结点 p 的直接前驱，最终 s 指向的就是前驱结点，q 指向的是 s 的父结点
        while (s->rchild)
        {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        //直接改变结点 p 的值
        (*p)->data = s->data;
        //删除 s 结点
        //如果 q 和 p 结点不同，删除 s 后的 q 将没有右子树，因此将 s 的左子树作为 q 的右子树
        if (q != *p) {
            q->rchild = s->lchild;
        }
        //如果 q 和 p 结点相同，删除 s 后的 q（p） 将没有左子树，因此将 s 的左子树作为 q（p）的左子树
        else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        free(s);
    }
    return true;
}
//删除二叉排序树中已有的元素
Status DeleteBST(BiTree* T, int key)
{
    //如果当前二叉排序树不存在，则找不到 key 结点，删除失败
    if (!(*T)) {
        return false;
    }
    else
    {
        //如果 T 为目标结点，调用 Delete() 删除结点
        if (key == (*T)->data) {
            Delete(T);
            return true;
        }
        else if (key < (*T)->data) {
            //进入当前结点的左子树，继续查找目标元素
            return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
        }
        else {
            //进入当前结点的右子树，继续查找目标元素
            return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
        }
    }
}

二叉排序树的具体实现

总的来讲，实现二叉排序树的查找、插入和删除操作，可以参考如下的 C 语言程序： 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define ElemType int
#define KeyType int
typedef enum { false, true } Status;
/* 二叉排序树的节点结构定义 */
typedef struct BiTNode
{
    int data;
    struct BiTNode* lchild, * rchild;
} BiTNode, * BiTree;

//在 T 二叉排序树中查找 key
BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key) {
    //如果 T 为空，则查找失败，返回NULL；或者查找成功，返回指向存有目标元素结点的指针
    if (!T || key == T->data) {
        return T;
    }
    else if (key < T->data) {
        //继续去左子树中查找目标元素
        return SearchBST(T->lchild, key);
    }
    else {
        //继续去右子树中查找目标元素
        return SearchBST(T->rchild, key);
    }
}

//向二叉排序树 T 中插入目标元素 e
Status InsertBST(BiTree* T, ElemType e) {
    //如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
    if ((*T) == NULL)
    {
        (*T) = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        return true;
    }
    //如果找到目标元素，插入失败
    else if (e == (*T)->data)
    {
        return false;
    }
    //如果 e 小于当前结点的值，表明应该将 e 插入到该结点的左子树中
    else if (e < (*T)->data) {
        InsertBST(&(*T)->lchild, e);
    }
    //如果 e 大于当前结点的值，表明应该将 e 插入到该结点的右子树中
    else
    {
        InsertBST(&(*T)->rchild, e);
    }
}

//实现删除 p 结点的函数
Status Delete(BiTree* p)
{
    BiTree q = NULL, s = NULL;
    //情况 1，结点 p 本身为叶子结点，右孩子也为 NULL，用 NULL 直接替换 p 结点即可
    //情况 2,结点 p 只有一个孩子
    if (!(*p)->lchild) { //左子树为空，只需用结点 p 的右子树根结点代替结点 p 即可；
        q = *p;
        *p = (*p)->rchild;
        free(q);
    }
    else if (!(*p)->rchild) {//右子树为空，只需用结点 p 的左子树根结点代替结点 p 即可；
        q = *p;
        *p = (*p)->lchild;
        free(q);
    }
    //情况 3，结点 p 有两个孩子
    else {
        q = *p;
        s = (*p)->lchild;
        //遍历，找到结点 p 的直接前驱，最终 s 指向的就是前驱结点，q 指向的是 s 的父结点
        while (s->rchild)
        {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        //直接改变结点 p 的值
        (*p)->data = s->data;
        //删除 s 结点
        //如果 q 和 p 结点不同，删除 s 后的 q 将没有右子树，因此将 s 的左子树作为 q 的右子树
        if (q != *p) {
            q->rchild = s->lchild;
        }
        //如果 q 和 p 结点相同，删除 s 后的 q（p） 将没有左子树，因此将 s 的左子树作为 q（p）的左子树
        else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        free(s);
    }
    return true;
}

//删除二叉排序树中已有的元素
Status DeleteBST(BiTree* T, ElemType key)
{
    //如果当前二叉排序树不存在，则找不到 key 结点，删除失败
    if (!(*T)) {
        return false;
    }
    else
    {
        //如果 T 为目标结点，调用 Delete() 删除结点
        if (key == (*T)->data) {
            Delete(T);
            return true;
        }
        else if (key < (*T)->data) {
            //进入当前结点的左子树，继续查找目标元素
            return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
        }
        else {
            //进入当前结点的右子树，继续查找目标元素
            return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
        }
    }
}

//中序遍历二叉排序树
void INOrderTraverse(BiTree T) {
    if (T) {
        INOrderTraverse(T->lchild);//遍历当前结点的左子树
        printf("%d ", T->data);     //访问当前结点
        INOrderTraverse(T->rchild);//遍历当前结点的右子树
    }
}

//后序遍历，释放二叉排序树占用的堆内存
void DestroyBiTree(BiTree T) {
    if (T) {
        DestroyBiTree(T->lchild);//销毁左孩子
        DestroyBiTree(T->rchild);//销毁右孩子
        free(T);//释放结点占用的内存
    }
}

int main()
{
    int i;
    int a[10] = { 41,20,11,29,32,65,50,91,72,99 };
    BiTree T = NULL;
    for (i = 0; i < 10; i++) {
        InsertBST(&T, a[i]);
    }
    printf("中序遍历二叉排序树：\n");
    INOrderTraverse(T);
    printf("\n");
    if (SearchBST(T, 20)) {
        printf("二叉排序树中存有元素 20\n");
    }
    printf("删除20后，中序遍历二叉排序树：\n");
    DeleteBST(&T, 20);
    INOrderTraverse(T);
    //后续遍历，销毁整棵二叉排序树
    DestroyBiTree(T);
}
以图 1 为例，程序执行结果为：

中序遍历二叉排序树：
11 20 29 32 41 50 65 72 91 99
二叉排序树中存有元素 20
删除20后，中序遍历二叉排序树：
11 29 32 41 50 65 72 91 99

总结

二叉排序树是一种实现动态查找表的树形存储结构。同一张查找表中，元素的排序顺序不同，最终构建出的二叉排序树也不一样。

例如，{45，24，53，12，37，93} 和 {12，24，37，45，53，93} 是同一张动态查找表，只是元素的排序顺序不同，它们对应的二叉排序树分别为：


图 4 不同形态的二叉排序树

左侧二叉排序树表示的是 {45，24，53，12，37，93}，右侧二叉排序树表示的是 {12，24，37，45，53，93}。

二叉排序树的查找性能和整棵树的形态有关。以图 4 为例，假设查找表中元素被查找的概率是相等的（都为1/6），左侧二叉排序树的查找性能用平均查找长度（ASL）表示：

ASL = 1/6 * (1+2+2+3+3+3) = 14/6

右侧二叉排序树的查找性能为：

ASL = 1/6 * (1+2+3+4+5+6) = 21/6

ASL 值越小，查找的性能就越高。显然，图 4 左侧二叉排序树的查找性能更高。

也就是说，一张动态查找表往往对应着多棵二叉排序树，当表中元素的查找概率相同时，二叉排序树的层数越少，查找性能越高。

除了二叉排序树外，还可以用平衡二叉树实现动态查找表。有关平衡二叉树，可以猛击《平衡二叉树（AVL树）详解》一文做详细了解。

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